История тригонометрии, как науки о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других геометрических фигур, охватывает более двух тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы, немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, в наши дни она охватывает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности[1]. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Томас Пейн в своей книге «Век Разума» (1794) назвал тригонометрию «душой науки»[2].
Содержание |
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей[3].
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой[4]. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[5] Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.
Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии[6]. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии[7].
Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). Теорема 32 (I книга «Начал») доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°. Теорема 12 (во II-й книге) представляет собой словесный аналог теоремы косинусов[8]:
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.
Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[9].
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18[10]. Попутно он доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:
Это же неравенство содержится в «Исчислении песчинок» Архимеда[11]. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла[12][13]:
Греки также решили в общем виде задачу построения треугольника по трём заданным его элементам (из которых хотя бы один является стороной)[6].
Однако главным полем для приложения результатов плоской тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы эпициклов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена Гиппархом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас[14]. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским[15].
Вместо современной функции синуса Гиппарх и другие древнегреческие математики обычно рассматривали зависимость длины хорды окружности от заданного центрального угла (или, что эквивалентно, от заданной дуги окружности, выраженной в угловой мере). В современной терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ единичной окружности, равна удвоенному синусу центрального угла θ/2. Это соответствие справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На языке хорд были сформулированы первые открытые греками тригонометрические соотношения[1]. Например, современной формуле:
соответствовала у греков теорема[16]:
где — хорда для центрального угла , — диаметр круга.
При этом радиус круга не считался равным единице, как сейчас. Например, у Гиппарха радиус круга предположительно считался равным R=3438 единиц — при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах: , и это облегчало вычисления. У Птолемея R=60 единиц. Согласно современным реконструкциям[14] [17], величины хорд у Гиппарха были протабулированы с интервалом 7°30'. Возможно, в основе вычисления таблицы Гиппарха лежал метод, разработанный Архимедом и восходящий ещё к Аристарху[18].
Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут[1]. Для вычислении хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует[19].
Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии угломерных приборов.
Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по меньшей мере уже во времена Гиппарха[20]. Возможно, тогда были известны и некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли использоваться для составления звёздных каталогов[21] и в геодезии.
Менелай Александрийский (около 100 года н. э.) написал монографию «Сферика» в трёх книгах. В первой книге он изложил теорию сферических треугольников, аналогичную теории Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин»[22].
Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География» и «Аналемма» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу[23].
Индийские математики провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на санскрите[24]) в прямоугольном треугольнике. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла[25].
Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике (см. рис. справа): под синусом понималась длина отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса R=3438 единиц (как у Гиппарха). Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины[24]. Из этого правила были исключения; например, Брахмагупта по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц[26].
Индийцы первыми ввели в использование косинус. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус, равный длине отрезка DC на рисунке справа[27]. Другие тригонометрические величины — тангенс, котангенс, секанс и косеканс — в индийских сочинениях не встречаются (по крайней мере, в явном виде)[26].
Как и у греков, тригонометрия индийцев развивалась главным образом в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использовании в теории движения планет и для изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста», однако ни одной их собственной работы, развивающей этот раздел тригонометрии, не обнаружено[28].
В «Панча-сиддхантике» (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны широта местности, склонение Солнца и его часовой угол. Автор (Варахамихира) для решения применяет аналог теоремы косинусов[29], он же впервые явно формулирует формулу для синуса половинного угла[30].
Для астрономических расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы синусов приведены в древней «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45' (половина шага таблиц у Гиппарха).
Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид[29]:
Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[31].
В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:
а также формула для малого приращения синуса:
(при ), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°[32].
В XI веке мусульмане (Махмуд Газневи) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «школа Керала» (англ.)русск. (по названию современного штата Керала на юге Индии)[33]. В XV—XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций[31]. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды[34], восходящие, вероятно, к основателю этой школе астроному Мадхаве (англ.)русск. (1-я половина XV века)[35]. Мадхава и его последователь Нилаканта (англ.)русск. (в трактате «Taнтpacaнrpaха») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году[36].
В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов, перевели их на арабский язык и стали активно развивать. Как и индийцы, они понимали под синусом полухорду (а не всю хорду, как у Птолемея)[28].
Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[27]. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке справа)[37]. Лишь в X веке философ и математик ал-Фараби ввел независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в круге некоторого радиуса. Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.
Одной из важнейших задач науки того времени являлось составление тригонометрических таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов и косинусов с шагом 1°, ал-Марвази добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов[27]. Оба они уже использовали индийские десятичные цифры. В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30', но уже в конце того же столетия Ибн Юнис составил таблицы с шагом 1'. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения . Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью шестидесятеричными знаками[38], с шагом 1'. Султан Улугбек лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°. Ал-Каши вошёл в историю науки также как один из первых авторов радианной меры углов; в ряде своих работ он использовал в качестве угловой меры «части диаметра», равные 1/60 радиана. Но в те годы это нововведение не получило распространения[39].
Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для решения задач не только астрономии, но и геодезии[40], в том числе[41]:
Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено независимо Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и Ибн Ираком в конце X века[9].
Первым специализированным трактатом по тригонометрии было сочинение среднеазиатского учёного ал-Бируни (X—XI век) «Книга ключей науки астрономии» (995—996 годы). Целый курс тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни — «Канон Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом 15') Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°). Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским — на языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и половинного угла, синусе суммы и разности углов[42]. Среди приложений книга Ал-Бируни показывает построение правильного вписанного девятиугольника и приближённое вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для нахождения . У Бируни уже имеется доказательство теоремы синусов и для сферических (главы 9-10 «Канона Мас‘уда»), и для плоских треугольников (глава 8). В другом труде, «Геодезия» Бируни сообщил результаты собственных измерений длины земного меридиана, из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в пересчёте к метрической системе, Бируни получил 6340 км)[43].
Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[44]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[45]. Приведена теорема тангенсов для сферических треугольников. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.
Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, составляющие содержание тригонометрии:
Поясним, что формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение на более простое сложение или вычитание. Впоследствии в Европе эти же формулы использовали для противоположной цели — замены сложения и вычитания на умножение, чтобы затем для вычисления результата применить логарифмические таблицы[46].
Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.
После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика Леви бен Гершома (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведенный на латинский язык в 1342 году[47]. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов[48]. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика Томаса Брадвардина (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV—XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.
Крупным достижением стала монография Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462—1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1') и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная шестидесятеричная). Радиус базового круга Региомонтан принял равным , табличные значения тогда представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления[49]).
По сравнению с трактатом ат-Туси сочинение Региомонтана существенно полнее, оно содержит ряд новых задач, решённых оригинальными методами. Например, показывается, как построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол[50].
Развитие тригонометрии в Новое время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виет[51]. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"[52]. Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604). Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов (первые логарифмические таблицы содержали только логарифмы тригонометрических функций).
Термин «тригонометрия» как название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик Б. Питискус (англ.)русск., опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» (лат. Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuous). К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт Честерский (англ.)русск.[24]. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку ; его последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер)[51], а позднее — до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик Томас Финке (Thomas Fincke)[51], а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель[53].
Томас Финке предложил оригинальное решение геодезической задачи: найти углы треугольника, если известна их сумма и отношение противолежащих сторон . Для решения Финке использовал формулу Региомонтана (см. рисунок)[54]:
Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное и систематическое, хотя и без доказательств, изложение плоской и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии»[55]. Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям[56]. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества — например, формулы для кратных углов[57]:
Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти формулы частично в словесном описании, но при этом ясно указал на связь коэффициентов формул с биномиальными коэффициентами и привёл таблицу их значений для небольших значений [55].
Из других достижений Виета[58]: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период — неприводимого — случая (стандартная формула требует умения работать с корнями из комплексных чисел). Виет дал первое в истории бесконечное произведение:
Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия быстро развивалась и в таких классических областях её применения, как геодезия. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания (см. рисунок):
В 1615 году Снеллиус нашёл решение «задачи Снеллиуса-Потно́» (англ.)русск.: найти точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами. Он открыл закон преломления света: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых телескопов придало этому открытию особую важность.
В 1630-х годах Жиль Роберваль, в ходе своих исследований циклоиды, вычертил первый график синусоиды[59]. Он же опубликовал формулу тангенса двойного угла[46]. Джон Валлис в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668)[60].
Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории квадратур (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века математического анализа. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил Блез Паскаль (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними[61], а также отметил, что . Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как Отред, Гюйгенс, Озанам, Валлис. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до Эйлера символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная)[62].
После открытия математического анализа сначала Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон получили разложение тригонометрических функций (а также обратных к ним) в бесконечные ряды. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «Универсальная арифметика»[63]. Например, в задаче X требуется «решить треугольник», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из формул Мольвейде[64].
Лейбниц строго доказал, что не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через , то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции трансцендентны[65].
Важными открытиями в начале XVIII века стали:
В 1706 году швейцарский математик Якоб Герман опубликовал формулы для тангенса суммы и тангенса кратных углов, а Иоганн Ламберт в 1765 году нашёл чрезвычайно полезные формулы, выражающие разные тригонометрические функции через тангенс половинного угла[68]. Немецкий математик Фридрих Вильгельм фон Оппель (нем.)русск. в книге «Анализ треугольников» (1746) опубликовал в современной записи обе формулы Мольвейде[69].
В 1798 году Лежандр доказал, что если размеры сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, то при решении тригонометрических задач можно применять формулы плоской тригонометрии, вычтя при этом из каждого угла треть сферического избытка[70].
Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: , но они не прижились[71].
Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному[63], и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера , , и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.
Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными[59]. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения[72].
Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в бесконечные произведения (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов[73].
В других трудах, в первую очередь «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании[74], причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.
В России первые сведение о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году[75]. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии[76]. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).
В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию[53].
В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил к плоской и сферической тригонометрии третий раздел — гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на мнимые величины: ai, bi, ci — или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие гиперболические[77].
В XIX—XX веках бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие. Начались эти исследования в середине XVIII века со спора о струне[78]; дискуссия продолжалась до 1807 года, когда Фурье завершил основы теории представления функций тригонометрическими рядами. С этого момента ряды и интегралы Фурье стали мощным практическим инструментом анализа функций. Исследуя множества особых точек для тригонометрических рядов, Георг Кантор разработал фундаментальную для всей математики теорию множеств[79]. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие комплексного анализа, теории меры и интегрирования, математической физики, электроники и многих других разделов науки.
| История математики | |
|---|---|
| Страны и эпохи | |
| Тематические разделы |
Алгебра • Аналитическая геометрия • Арифметика • Геометрия • Дифференциальные геометрия и топология • Комбинаторика • Криптография • Линейная алгебра • Логарифмы • Математический анализ • Неевклидова геометрия • Теория вероятностей • Теория множеств • Топология • Тригонометрия • Функциональный анализ |
| Отдельные понятия | |
