Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
К тригонометрическим функциям относятся:
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются .
Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.
Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках , а котангенс и косеканс — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[1]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса с центром в начале координат . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим , ординату обозначим (см. рисунок).
Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате , а косинус — абсциссе . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
Если — вещественное число, то синусом в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна , аналогично для прочих тригонометрических функций.
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника[2]. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:
Построив систему координат с началом в точке , направлением оси абсцисс вдоль и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).
Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и для тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.
Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения
с дополнительными условиями для косинуса и для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:
Функции косинус и синус можно определить[3] как решения ( и соответственно) системы функциональных уравнений:
при дополнительных условиях
и при .
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:
где
Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:
Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс —
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
Функции — периодические с периодом , функции и — c периодом .
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Здесь — любая тригонометрическая функция, — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:
Некоторые формулы приведения:
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
Формулы двойного угла:
Формулы тройного угла:
Прочие формулы для кратных углов:
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
где — целая часть числа , — биномиальный коэффициент.
Формулы половинного угла:
Формулы для произведений функций двух углов:
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
![]() |
|
Cуществует представление:
где угол находится из соотношений:
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:
Соответственно, для вещественного x,
Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:
Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как: араб. جيب — «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом лат. sinus — «синус», имеющим то же значение. Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — синус дополнения.
Современные краткие обозначения введены Б. Кавальери и Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.
Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.
Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.
Косинус.