Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.
Содержание |
Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.
Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида
абсолютно неприводим.
Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:
Над кольцом целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).
Над полем рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.
Над полем действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена в поле действительных чисел имеет вид . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.
Над полем комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен над может быть разложен на множители вида:
где — степень многочлена, — старший коэффициент, — корни . Поэтому единственными неприводимыми многочленами над являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).
Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен является неприводимым над , но над полем из двух элементов мы имеем:
Неприводимый многочлен над полем 3, неприводимый многочлен жегалкина, неприводимый многочлен aes.
Файл:Map commune FR insee code 81058.png, Файл:Platans.JPG, Крутогорье (Орловская область), Категория:Катастрофы в России 2015 года.