0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, разделяющее на числовой прямой положительные и отрицательные числа. Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют нуль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять нуль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело).

Основные свойства нуля

• Любое число при сложении с нулём не меняется. Это свойство имеет место и в расширенных числовых системах, включающих целые числа: вещественные числа, комплексные числа и др.
• Умножение любого числа на нуль даёт нуль.
• Нуль не имеет знака.
• Так как при делении 0 на 2 получается целое число, то 0 является чётным числом.
• 0 делится на все вещественные числа, в результате получается нуль. Исключением является выражение 0/0, приводящее к неопределённости.
• Деление на ноль невозможно в пространстве комплексных чисел. В самом деле, если обозначить , то по определению деления должно быть , в то время как при любом комплексном b равна нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного числа в пространстве комплексных чисел. (Можно искусственно добавить к комплексным числам ещё одно число, которое будет обратным к нулю. Полученное множество будет сферой Римана.)

Применение

В математике

• Нулевое число Фибоначчи, нулевое число Мерсенна, нулевое треугольное число и т. д.
• , при . не определено, однако .
• 0! (ноль факториал) определяется как 1.
• Расположения 0 и 360 градусов совпадают
• Ноль функции

В физике

Абсолютный нуль температуры.

В других областях

• ASCII-код управляющего символа NUL
• Нулевого года в юлианском и григорианском календаре нет.

Обобщения

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в высшей алгебре такой элемент называется нейтральным. Чаще всего используется вещественный нуль, то есть нуль в контексте множества вещественных чисел. Другие распространённые вариации:

• Комплексный нуль.
• Нулевой многочлен.
• Ноль-вектор.
• Нулевая матрица.

История

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля примерно начиная с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ονδεν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна открытая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка.

В Европе долгое время нуль считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравнению его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

• −0 и +0 — фиктивные понятия в математическом анализе.
• Беззнаковое число
• Машинный ноль
• Ноль (цифра)
• Отрицательное число
• Делитель нуля

Ссылки

• История нуля  (англ.)
• «Ноль в четырёх измерениях»  (англ.)
• Открытие нуля  (англ.)
• История алгебры  (англ.)
• Почему нумерация должна начинаться с нуля  (англ.)
• Свойства числа ноль  (рус.)