Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

Пусть задана точка топологического пространства и два отображения в любое множество . Тогда говорят, что и задают один и тот же росток в , если есть окрестность точки , такая что ограничение и на совпадают. То есть,

(что означает ).

Аналогично говорят о двух подмножества : они определяют один и тот же росток в , если существует окрестность , такая что:

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке есть отношение эквивалентности(на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками(ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно или .

Росток данного отображения в точке обычно обозначают . Аналогично, росток, задаваемый множеством , обозначают .

Росток, отображающий точку в точку пишут , таким образом является целым классом эквивалентности отображений, и под принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны(задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции(относительно ростков отображений):

Литература

• Мишачев Н.M., Элиашберг Я. М. Введение в h-принцип.