Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.

Связанные определения

• Каждое связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства .
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне не связным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное Хаусдорфово пространство называется континуумом.

Свойства

• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм.
• Образ связного множества при непрерывном отображении — связен.
• Связность пространства — свойство топологическое, то есть инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного множества связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
• Пусть — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
• Декартово произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, декартово произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства — это максимальные связные подмножества множества .
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне не связное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве, компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).

Примеры

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным
• Множество Мандельброта — пример связного множества

Вариации и обобщения

• Линейно связное пространство