Сопряжённо-транспонированная матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транcпони́рованная ма́трица — это матрица ^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Содержание

Если исходная матрица имеет размер , то эрмитово-сопряжённая к матрица будет иметь размер а её -й элемент будет равен:

где обозначает комплексно-сопряжённое число к (сопряжённое число к есть , где и — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как или (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

— в квантовой механике;
— но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
.

Если

тогда

Если матрица состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

если

Квадратная матрица называется:

для любых двух матриц и одинаковых размеров.
для любого комплексного скаляра .
для любых матриц и , таких, что определено их произведение . Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
для любой матрицы .
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
обратима если и только если обратима матрица . При этом:
для любой матрицы размера и любых векторов и . Обозначение обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы и являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы (необязательно квадратной). Если квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.