Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1].

Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Уравнения

Расстояние между фокусами .

• В прямоугольных координатах:

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

• В полярной системе координат:

Особенности формы

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра:  — половина расстояния между фокусами и  — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :

• , то есть при .

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.

• , то есть

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

• , то есть

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

• , то есть

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью стремится к нулю, когда стремится к и к бесконечности, когда стремится к .

• , то есть

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

• , то есть при

По мере увеличения (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса . Если , то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При имеет два абсолютных максимума и два минимума:

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса с центром в середине отрезка между фокусами.

• При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Многофокусная алгебраическая кривая
• Овал Декарта

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
• Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.