В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.

В современном представлении, эллиптический интеграл — это некоторая функция , которая может быть представлена в следующем виде:

,

где  — рациональная функция двух аргументов,  — квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями,  — константа.

В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда имеет повторяющиеся корни или когда не содержит нечетных степеней . Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

•  — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );
•  — модуль эллиптического интеграла;
•  — параметр;

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр. Г. Корн, Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»)

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• , где  — эллиптическая функция Якоби;
•  — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:

и

Последее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

.

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительнй модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

•  — дополнительный параметр
•  — дополнительный модуль
•  — дополнительный модулярный угол

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как

,

или, в форме Якоби,

.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «, ». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

.

Частные случаи

;

;

;

;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

или, используя подстановку ,

Частные случаи

;

;

;

;

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как

или

Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла стремится к бесконечности для любых .

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введем дополнительные обозначения:

;

;

;

;

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции:

,

где

и

(c > 1)

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .

Введем дополнительно величину

.

Тогда:

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

;

;

;

;

Тогда эллиптический интеграл равен:

,

где

и

(c < 0)

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как .

Введем дополнительно величину

.

Тогда:

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

,

что эквивалентно выражению

,

где обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл первого рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

что эквивалентно выражению

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и второго рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

или

Гиперболический случай

(0 < c < m)

,

где  — дзета-функция Якоби

(c > 1)

,

Круговой случай

(m < c < 1)

,

где  — лямбда-функция Хеймана

(c < 0)

,

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

;

Лямбда-функция Хеймана

или

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Ссылки

• Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
• Г. Корн, Т Корн // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т3 (гл. 13)
• Ахиезер Элементы теории эллиптический функций. (гл 3,7)
• Эллиптические функции, Процедуры для Matlab