Пусть — заданная группа и — векторное пространство. Тогда представление группы — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование причем выполняются свойства
Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы и знакопеременной группы играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).
Связанные определения
Пусть есть представление группы , здесь — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства . Размерностью представления называется размерность векторного пространства
Представления и одной и той же группы называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм векторных пространств, что Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
Представление называется прямой суммой представлений если (здесь знак означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого подпространство инвариантно относительно преобразования и индуцированное ограничением на представление эквивалентно
Типы представлений
Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
Представление группы называется приводимым, если в векторном пространстве есть подпространство, отличное от нулевого и самого инвариантное для всех преобразований В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
Представление называется регулярным, если — пространство функций на группе и линейное преобразование ставит в соответствие каждой функции функцию
Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве над полем , если все преобразования являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве (над полем ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве произвольное эрмитово скалярное произведение и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой
Если ― топологическая группа, то под представлением обычно понимается непрерывное линейное представление группы в топологическом векторном пространстве.
Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор где Таким образом получается -мерное представление группы
Неприводимое двумерное представление группы можно получить, выбрав в плоскости базис положив вектор и определив для каждой перестановки линейное преобразование , переводящее в и в
Вариации и обобщения
В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества . Например: