π-теорема — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение эквивалентно выражению, включающему множество из p = n-k безразмерных величин, построенных из исходных переменных. Это позволяет вычислять множество безразмерных величин по данным физическим значениям, даже если неизвестно выражение, связывающее эти значения. Способ выбора множества безразмерных параметров не единственный: π-теорема демонстрирует, как это можно сделать, но не обеспечивает, что полученные параметры будут наиболее «физически значимыми».
Содержание |
π-теорема была опубликована Эдгаром Бакингемом (англ.) в 1917 году, а впоследствии и обобщена Германом Вейлем в 1926. Поэтому за рубежом она именуется «теорема Бакингема» (см. интервики), либо «теорема Ваши-Бакингема».
Если дано физически значимое выражение:
,
где — это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:
,
где — это безразмерные параметры, полученные из при помощи p = n-k выражений следующего вида:
,
где показатели степеней — это рациональные числа.
Дана система из n размерных величин (физических величин) в k (физических) измерениях. Запишем матрицу M. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент (i, j) этой матрицы соответствует степени i-го множителя в формуле размерности j-й физической величины. Матрица может быть проинтерпретирована следующим образом: столбцу
соответствует запись
Очевидно, что безразмерным величинам соответствуют нулевые столбцы матрицы. Эти столбцы являются линейными комбинациями столбцов, соответствующих размерным величинам.
Как известно, любая система из n векторов в k-мерном линейном пространстве удовлетворяет системе из p = n-k отношений. И любой её базис будет состоять из p элементов, которым соответствуют безразмерные величины.
Безразмерные величины всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы быть целочисленной комбинацией размерных величин. Это математический, иногда не самый лучший способ определения безразмерных величин. Некоторые способы выбора безразмерных величин более физически значимы (например, имеют смысл отношения характерных сил), и они должны использоваться в идеале.
Безразмерные величины в физике | |
---|---|
Понятия | Размерность физической величины · Безразмерная величина · π-Теорема · Критерий подобия |
Числа | Аббе · Альфвена · Архимеда · Атвуда · Багнольда · Био · Бонда · Бринкмана · Булыгина · Вебера · Вайсенберга · Галилея · Гартмана · Гей-Люссака · Грасгофа · Гретца · Гуше · Дамкёлера · Деборы · Дерягина · Дина · капиллярности · Кармана · Каулинга · Кирпичёва · Клаузиуса · Кнудсена · Коссовича · Коши · Лапласа · Лундквиста · Лыкова · Льюиса · Лященко · Маха · Марангони · Мортона · Нуссельта · Ньютона · Онезорге · Пекле · Поснова · Прандтля (магнитное, турбулентное) · Пуазёйля · Рейнольдса (магнитное) · Ричардсона · Россби · Роуза · Рошко · Руарка · Рэлея · Соре · Стэнтона · Стокса · Струхаля · Стюарта · Суратмана · Тейлора · Уомерсли · Фёдорова (в гидродинамике · в теории сушки) · Фруда · Фурье · Хагена · Чандрасекара · Шмидта · Шервуда · Эйлера · Эккерта · Экмана · Элсассера · Этвёша |
Пи-теорема.